LIMITE

Definición:
El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.


Idea intuitiva de limite

La eficiencia de un servidor con relación al tiempo y a una determinada cantidad de computadores, se puede registrar el la siguiente tabla:

     t(h)     e(0<e<=1)

   0              0 

  0.5             0.1

     1             0.2

  1.5             0.4

     2             0.5

  2.5             0.6

     3             0.7

    3.5             0.75

       4             0.75

a - Grafique lo que sucede con el servidor :

  
lim   
X⇒3+;   limite cuando x, tiende a tres por la derecha, es decir se acerca por la derecha.
lim   
X⇒3-;   limite cuando x, tiende a tres por la izquierda, es decir se acerca por la izquierda.

Valores de x e y   

 x                 f(x)

3.1              6.1     

3.01            6.01

3.001          6.001

3.0001        6.0001

2.8              5.8

2.9              5.9

2.99            5.99

2.999          5.999

Gráfica:

* El costo en millones de dolares que le supone a una agencia gubernamental   un por ciento de cada droga ilegal.

Hallar el costo de la incautación del:
a - 25%
b - 50%
c - 75%
d - 99%
e - que sucede cuando lim c?
                                      x⇒100
Solución:
a - x=25%
     C= 528 * 25  = 13200 = 176
          100 - 25         75
         US$ 176.000.000


b - x=50%
     C= 528 * 50  = 26400 = 528
          100 - 50         50
         US$ 528.000.000


c - x=75%
     C= 528 * 75  = 39600 = 1584
          100 - 75          25
         US$ 1.584.000.000  



d - x=99%
     C= 528 * 99  = 52272 = 52272
           100 - 99          1
         US$ 52.272.000.000


e - lim      528x %  = ∞tiende al infinito

  x⇒100- 100-x%

    

Repaso de factorizaciòn:

i - Factor común
    x+ x² -3x⁴=x(1+x-3x³)
ii- Diferencia de cuadrados perfectos
    x²-4y²=(x-2y)(x+2y)
iii-Trinomio de la forma x² +Bx+C=0
    x² +2x+63=(x+9)(x-7)


Calculo de limite analíticamente:


i-  lim   x^2 -16   =lim   (x-4)(x+4)  =lim (x+4) =4+4 = 8
   x⇒4    x - 4       x⇒4      (x-4)          x⇒4

ii- lim  (x² -3x+5) = (-2)² -3(-2)+5 = 4+6+5 = 15  
  x⇒-2


iii- lim    x-3  = lim        (x-3)      =lim     1   =   1   =  1  =∞ tiende infinito 
  x⇒-3 x² -9  x⇒-3 (x+3)(x-3) x⇒-3  x+3  -3+3     0


iv- lim   x+13  =   lim        (x+13)       =lim      1    =   1     = 1 =∞ tiende infinito
 x⇒13 x²-169  x⇒13 (x+13)(x-13) x⇒13 x-13   13-13    0


v- lim  x^3-8  = lim   (x-2)(x^2+2x+2^2)  = lim (x²+2x+2²) = 4+2+4 = 12 
   x⇒2  x-2       x⇒2           (x-2)                       x⇒2 


vi- lim     x-8    =  lim              (x - 8)           
  x⇒-8 x³+512  x⇒-8  (x+8)(x²-(8x)+64


vii- lim     1     =    1      =     1     =  1  = oo tiende infinito
  x⇒13  x-13     x-13      13-13      0


viii-  lim  x+1  =          (x+1)         =      1      =         1           =    1      =   1  
     x⇒1 x³+1    (x+1)(x² -x+1²)    x² -x+1  1² -(-1)+1 ²   1+1+1        3


ix- lim   x^2-x-12 = lim   (x-4)(x+3)  = 4+3 = 7
   x⇒4     x - 4          x⇒4      (x-4)


x-  lim  t^2+9t+8 = lim  (t+1)(t+8)  =lim  t+8  = -1+8 =  7  = -7/6
   t⇒-1  t^2-4t-5   t⇒-1  (t-5)(t+1)  t⇒-1  t-5      -1-5     -6


xi-lim x^3-64  =lim (x-4)(x^2+(4x+4^2)=4^2+4(4)+4^2=16+16+16 =48
 x⇒4 x^2-x-12 x⇒4        (x-4)(x+3)                 4 + 3                        7            7


xii- lim  s^2-2s =lim      s(s-2)     = lim    s   = lim     2    =  2 
    s⇒2  s^2-4    s⇒2 (s-2)(s+2)  s⇒2 s+2    s⇒2 2+2      4


xiii- lim     √x -2  =lim  (√x -2)(√x+2) =lim     1    =   1    =  1 
     x⇒4    x+ 4    x⇒4 (x-4)(√x +2      x⇒4 √x+2    2+2      4


xiv- lim    √x-5  = lim   (√x-5) (√x+5)  = lim           (x-25)        =  1    =  1 
    x⇒25   x-25   x⇒25  (x-25)(√x+5)   x⇒25 (x-25)(√25+5)   5+5    10


xv- lim 12(√x-3) = lim  12(√x-3)12(√x+3) = lim      12(x - 9)      
    x⇒9   x - 9         x⇒9   (x - 9)(√x + 3)        x⇒9  (x - 9)(√x +3)


     = lim      12     =   12    =  12  = 2
      x⇒9 (√x +3)    3 + 3       6

Consideraciones:

*  lim    k  =0         *  lim      k  =0
 x⇒∞  xⁿ                 x⇒∞-  xⁿ 

*   lim      k  =0     *   lim  1  =0
 x⇒∞+  xⁿ             x⇒∞  x

Aplicación de las consideraciones:
* ejercicio Nº1 



* ejercicio Nº2 


* ejercicio Nº3


ln10-10+cos10=-0.53
* ejercicio Nº4

* ejercicio Nº5

* ejercicio Nº6

*ejercicio Nº7
                                 2x^2 +    1                          1  
   lim  2^2+1 = lim  x^2       x^2   = lim   2 + x^2 
x⇒∞ x²+2    x⇒∞  x^2  +     2       x⇒∞ 1 +   2   
                                 x^2       x^2                    x^2 
    lim   
= x⇒∞ 2 + lim 1/x^2  =  2  = 2
    lim     1 + lim 2/x^2      1                       
   x⇒∞ 


* La función demanda para cierto producto de computadores esta dada:                    p(x)=   10000   
           (x + 1)²      
donde (p) es el precio en dolares y (x) es la cantidad vendida.  


* Explique   que significa:
a- Vender cero (0) unidades
b- Vender mil (1000) unidades
c- Vender muchísimas unidades
Solución:


a- lim          p(x)=lim   10000   = 10000 = 10000 = 10000
   x⇒0                 x⇒0   (x+1)²       (0+1)²         1²  
Cuando x⇒0, podemos decir que no hay unidades vendidas.
y el costo en dolares es US$ 10.000.


b- lim          p(x)=lim   10000   =     10000    = 10000 = 0.00998
   x⇒1000          x⇒1000   (x+1)²      (1000+1)²     1001²  
Cuando x⇒1000, el costo en dolares es relativamente bajo.


c- lim           p(x)=lim   10000   =    10000    
   x⇒∞              x⇒∞    (x+1)²         x²+2x+1    
por lo tanto cuando x⇒ ∞, el costo en dolares es cero(0).


                 =lim       10000        =lim    10000     
                x⇒∞         x²         x⇒∞       x²             
                          x²+ 2x  + 1               1+  2  +  1                       
                           x²    x²      x²                         x        x²
                    
                                        lim  10000                          
                       =            x⇒∞      x²                  =        0        =  0  = 0                
                          lim  1 +  lim   2x +  lim    1          1+0+0        1
                        x⇒∞      x⇒∞  x     x⇒∞  x²