PROPIEDADES Y OPERACIONES CON DERIVADAS

i-f(x)=k ; k es un numero real
  f'(x)=0


ii-f(x)=kx
   f'(x)=k.nx


iii-f(x)=h(x).g(x)
    f'(x)=h'(x).g(x)+h(x).g'(x)


iv-f(x)=h(x)
              g(x) no puede ser cero
       f'(x)=h'(x)*g(x) - h(x)*g'(x) 
                          [g(x)]²
 v-f(x)=e^x
     f'(x)=e^x


vi-f(x)=Senx
    f(x)=CosX


vii-f(x) = Cosx
     f'(x)=-Senx


viii-


Ejercicios


 i-y=1x²-x⁴-3x⁵-4
        3           4   
dy= 1 *2x^2-1-1*4x^4-1- 3 *5x^5-1 -0
dx   3                              4
      = 2 x-4x³-15x⁴

         3              4

ii-f(x)= 3 x⁴- 2 x³+5x- 3 x^-1+π

              4        3              5

     dy=3x³-2x²+5+ 3 x^-2

     dx                         5

                     3            4  

iii-y= √x - 1  √x +  4  √x⁵ +  1 e²⁰ 

                3            9              2

   y'=  1 x^1/2-1 - 1  *  1 x^1/3-1+ 4 * 5 x^5/4-1

             2              3      3               9    4

   y'=  1 x^-1/2 - 1 x^-2/3+ 5 x^-1/4

             2             9             9  

iv-f(x)=(x²-3x+1)(x³-4)

    f'(x)=(2x-3)(x³-4)+(x²-3x+1)(3x²)

    f'(x)=2x⁴-8x-3x³+12+3x⁴-9x³+3x²

    f'(x)=5x⁴-12x³+3x²-8x+12

v-f(x)=xe^x

   f(x)=1*e^x+xe^x=e^x+xe^x

vi-f(x)=x²cosx+senx

    f'(x)=2x*cosx+x²(-senx)+cosx

    f'(x)=2x cosx-x²senx+cosx

vii-y= 1 (e^x *cosx)-(2x cosx)

           2

     y'= 1 [e^xcosx+e^x(-senx)]-2[1*cosx+(-senx)]

            2

     y'= 1 e^x cosx- 1 e^xsenx-2cosx+ 2x senx

            2                2

Ejercicio de Aplicación   

  

El ingreso derivado de la producción de x unidades de cierto producto es 

R(x)=  63x - x² millones de dolares.  

                x²+63

¿cual es  el  nivel  de  producción que genera el máximo ingreso?¿cual es el máximo ingreso?

 R(x)= 63x-x² 

                x+63

 R'(x)= (63-2x)(x²+63)-(63x-x²)(2x)   = 0

                             (x²+63)²

          63x²+63²-2x³-126x-126x²+2x³= 0
        -63x²-126x+63²= 0
        -x²-2x+63=0
        (x+9)(x-7)=0        
        x+9= 0   
        x= -9
        x-7= 0  
        x=7
  
R(7)=  63*7-7²=3.5 millones de dolares
             7² +63

El nivel de producción que genera el maximo ingreso es 7 y el máximo ingreso es 3.5 millones de dolares

Ejercicio de aplicación:

en un día determinado el ritmo o tasa de flujo (f) (Vehículos * Horas) en una autopista congestionada es:


f=           v         , donde (V) es la velocidad del trafico en millas por horas.
      22+0.02v²


A) ¿ que velocidad maximizara el ritmo o tasa de flujo en la autopista?
B) ¿cual es el flujo máximo?


f=           v         

      22+0.02v²

f=  v'(22+0.02v²)-(v)(22+0.02v²)' 

                      (22+0.02v²)²

f=  1(22+0.02v²)-(v)(0+0.04v)  

                      (22+0.02v²)²

f=  (22+0.02v²)-(v)(0+0.04v) =0

                   (22+0.02v²)²

f=  22+0.02v²-0.04v² =0

      22 -0.02v² =0

      22 = 0.02v²      

         22    =v² 

       0.02

      v² =1100

      v = 33.16 m/h.

La velocidad que maximiza el ritmo o tasa de flujo es 33.16 millas por horas
el flujo máximo es 0.75





Regla de la cadena


i-y=√x² -3x+1 convertimos


  y=(x²-3x+1)^1/2  Prioridad a la externa
                         
  y'= 1  (x²-3x+1)^-1/2* (2x-3) Por la derivada interna.
        2                       

ii-y=sen³(2x) Externa al cubo, segunda o primera interna Sen y la ultima         el angulo(2x).

         
   y'=3[sen(2x)]*[cos(2x)](2)
  
   y'=6 cos(2x)sen²(2x)


iii-y= 1 e^-3x
            2
     y'=1/2e^-3x*(-3)=-3/2e^-3x


iv-y=e^-x
     y'=e^-x(-1)
     y'=-e^-x




v-y=xcos3x
   y'=1*cos3x+x(-sen3x)(3)
   y'=cos3x-3xsen3x


vi-f(x)=e^2xsen2x
    f(x)=2e^2x(sen2x)+e^2x(cos2x)(2)
             2e^2xsen2x+2e^2xcos2x
             2e^2x(sen2x+Cos2x)


vii-f(x)=√2x *Tan x 
     f(x)=(2x)^1/2*Tan x
     f'(x)= 1 (2x)^-1/2(2)(Tan x)+(2x)^1/2*(sec^2x)
                 2            
     f'(x)=(2x)^-1/2Tan x+(2x)^1/2sec²x


viii-f(x)=e^-1/2x(x²-3x)⁴
      f(x)' =- 1 (e^-1/2x-3x)⁴+e^-1/2x*4(x²-3x)³*(x²-3x)'
                    2
      f(x)'=- 1 e^-1/2x(x²-3x)⁴+4e^-1/2x(2x-3)
                    2

Ejercicio de aplicación

La concentración de un medicamento T horas después de haber sido inyectado en el brazo de un paciente esta dado por:

C(t)=  0.15t    
          t²+0,81


C'(t)= (0.15t)'*(t²+0,81)-(0,15t)*(t²+0,81)'  
                                    (t²+0,81)²
C'(t)= (0.15)(t²+0,81)-(0,15t)(2t)  = 0
                                    (t²+0,81)²
C'(t)=0.15t²+0.12-0.3t²= 0
          -0.15t²+0.12 = 0
                          0.12= 0.15t²
                               0.12 = t²
                         0.15
                              0.8 = t²
                              0.89=t
                        t=0.89

C(t)=    0.15(0.89)    =0.13=0.083
            (0.89)²+0,81    1.60

Lo cual quiere decir que la máxima concentracion ocurre cuando ha transcurrido un tiempo de 0.89 horas

la máxima concentración  es 0.083.

El porcentaje de larvas que salen de los huevos de gusanos de la manzana a una temperatura t grados celsius esta dado por h(t)= -0.53t²+25t-209 para datos entre 15 y 30,15=t=30
a.¿a que temperatura sale el maximo porcentaje?
b.¿cual es el maximo porcentaje?


a. h(t)= -0.53t²+25t-209 
    h'(t)= -1.06t+25-0
    h'(t)= -1.06t+25=0
                  25=1.06t
                   25   =t

                  1.06

                 23.5=t

b. h(23.5)= -0.53(23.5)²+25(23.5)-209

    h(23.5)= 85.30

i-f(x)=  2 - x²+ √x 

             x²

  f(x)= 2x^-2-x²+x^1/2
  f'(x)=-4x^-3-2x+ 1  x^-1/2
                                2
 ii-f(x)=√x³ sen2x-     x    
                                 (x+1)²
    f(x)=x^3/2sen2x-     x    
                                 (x+1)²
    f(x)=x^3/2sen2x-x(x+1)^-2
    f'(x)=3/2x^1/2Sen2x+x^3/2Cosx*2-[1(x+1)²+x(-2)(x+1)^-3(1)]
    f'(x)=3/2√x Sen2x+2x^3/2Cos2x-(x+1)²+2x(x+1)^-3